Sala de Aula Virtual

A discussão sobre “Matemática Escolar e Matemática Acadêmica” é muito bem abordada e explorada no livro: A formação matemática do professor: licenciatura e prática docente escolar, MOREIRA, P. C. e DAVID, M. M. M. S., que usam as expressões Matemática Científica e Matemática Acadêmica como sinônimos, que se referem à Matemática como corpo científico de conhecimentos, segundo a produzem e a percebem os matemáticos profissionais. E Matemática Escolar, referindo-se ao conjunto dos saberes “validados”, associados especificamente ao desenvolvimento do processo de educação escolar básica em Matemática. Eles entendem que a Matemática Escolar, com esta formulação, inclui tanto os saberes produzidos e mobilizados pelos professores em sua ação pedagógica na sala de aula, quanto resultados de pesquisas que se referem à aprendizagem e ao ensino escolar de conceitos matemáticos, técnicas, processos etc. Com esta abordagem, eles tomam a Matemática Escolar para além de uma disciplina ensinada na escola, e a apresenta como um conjunto de saberes associados ao exercício da profissão docente.

As diferenças entre a Matemática Acadêmica e a Matemática Escolar, apresentadas pelos autores, são significativas e substantivas. A começar pela prática do matemático e a prática do professor de matemática, como descrevem os autores:

 A prática do matemático tem como uma de suas características mais importantes, a produção de resultados originais de fronteira. Os tipos de objetos com os quais se trabalha, os níveis de abstração em que se colocam as questões e a busca permanente de máxima generalidade nos resultados fazem com que a ênfase nas estruturas abstratas, o processo rigorosamente lógico-dedutivo e a extrema precisão de linguagem sejam, entre outros, valores essenciais associados à visão que o matemático profissional constrói do conhecimento matemático. Por sua vez, a prática do professor de Matemática da escola básica desenvolve-se num contexto educativo, o que coloca a necessidade de uma visão fundamentalmente diferente. Nesse contexto, definições mais descritivas, formas alternativas (mais acessíveis ao aluno em cada um dos estágios escolares) para demonstrações, argumentações ou apresentação de conceitos e resultados, a reflexão profunda sobre as origens dos erros dos alunos etc. se tornam valores fundamentais associados ao saber matemático escolar. (pág. 21) 

Em relação a esta diferença, os autores citam SFARD, A., que em “On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin” desenvolve uma análise dos processos de abstração da matemática, relacionando o aspecto operacional (em que o conceito é visto como processo) e o estrutural (o conceito como objeto). Uma implicação da tese de SFARD para a educação escolar seria a insuficiência e a inadequação de uma visão do conhecimento matemático como um sistema formal-dedutivo, próprio da Matemática Acadêmica, uma vez que as definições formais representam os conceitos já no seu aspecto estrutural e, de certa forma, ocultam as etapas de interiorização e de condensação que facilitam a construção da reificação (nome que ele dá quando o processo se transforma finalmente em objeto).

Uma das distinções importantes que os autores fazem entre a Matemática Acadêmica e a Matemática Escolar é a que se refere ao papel e aos significados das definições e das demonstrações:

 No caso da Matemática Científica, devido à sua estruturação axiomática, todas as provas se desenvolvem apoiadas nas definições e nos teoremas anteriormente estabelecidos (e evidentemente nos postulados e conceitos primitivos). Isso exige uma formulação extremamente precisa para as definições, pois ambigüidades na caracterização de um objeto matemático podem produzir contradições na teoria. As definições formais e as demonstrações rigorosas são elementos importantes tanto durante o processo de conformação da teoria – nos momentos em que a comunidade avalia e eventualmente acata um resultado novo, garantindo-se, então, a sua incorporação ao conjunto daqueles já aceitos como válidos – quando no processo de apresentação sistematizada da teoria já elaborada. (pág. 22) 

No caso da Matemática Escolar, estão permanentemente em cena dois elementos fundamentais que modificam significativamente o papel das definições e das provas. O primeiro se refere ao fato de que a “validade”dos resultados matemáticos a serem discutidos no processo de escolarização básica não está posta em dúvida; ao contrário, já está garantida, a priori, pela própria Matemática Acadêmica …  O problema que se coloca no ensino escolar não é o de demonstrar um fato como esse rigorosamente, a partir de definições precisas e de resultados já estabelecidos, como no processo axiomático científico. A questão fundamental para a Matemática Escolar – esse é o segundo elemento, sempre presente no cenário educativo – refere-se à aprendizagem, portanto ao desenvolvimento de uma prática pedagógica visando à compreensão do fato, à construção de justificativas que permitam ao aluno utilizá-lo de maneira coerente e conveniente na sua vida escolar e extra-escolar. (pág. 23) 

Sobre a importância da demonstração para a Matemática Escolar e para a Matemática Acadêmica, os autores fazem a seguinte distinção:

 … para a Matemática Escolar, não faz nem sentido argumentar: qualquer tipo de argumentação teria que pressupor a aceitação, sem provas, de afirmações mais complexas e menos evidentes do que a própria tese a ser provada. No entanto, para a Matemática Acadêmica, a demonstração faz sentido: entre outros objetivos possíveis, ela explicita para o futuro matemático em processo de formação essa espécie de “suspensão de certeza” a que devem ser submetidos todos os enunciados – até um como esse, impensável de se colocar em dúvida dentro da cultura escolar – para que se processe rigorosamente esse tipo de organização lógica da Matemática Científica, que é a axiomática. (pág. 24) 

Os autores chamam a atenção para as complicações que demonstrações menos formais podem trazer, tais como: a possibilidade de estímulo de um relaxamento exagerado, a possibilidade da promoção de uma compreensão equivocada do papel e da necessidade de validação dos resultados e das sentenças e a possibilidade de reforçar concepções inadequadas (misconceptions) do aluno, as quais podem eventualmente funcionar como um obstáculo à aprendizagem da Matemática Escolar. No entanto, eles alertam para as grandes dificuldades que são detectadas quando o trabalho docente fica restrito às provas dedutivas nos moldes prescritos pela Matemática Acadêmica, como por exemplo, que essa subordinação atua no sentido de censurar demasiadamente o processo de desenvolvimento de tentativas (ensaio e erro) ou de busca de uma compreensão não-formal do resultado a ser demonstrado.

Os autores resumem os papéis da demonstração na Matemática Acadêmica e na Matemática Escolar da seguinte forma:

 … enquanto o papel central das demonstrações na Matemática Acadêmica refere-se à inscrição de um determinado resultado entre os aceitos como verdadeiros pela comunidade científica, na educação matemática escolar a demonstração desempenha papéis essencialmente pedagógicos, tais como:

a)       Contribuir para a construção de uma visão da disciplina na qual os resultados sejam tomados não como dados arbitrários, mas como elementos de saber socialmente construídos e aceitos como válidos através de negociação e argumentação;

b)       Desenvolver a capacidade de argumentação. Por exemplo, a atividade pedagógica que consiste em submeter à crítica dos outros alunos uma determinada cadeia de argumentos construída por um deles pode levar a um entendimento mais significativos do resultado que é objeto da argumentação; pode levar também a um refinamento dos próprios argumentos ou mesmo da linguagem utilizada para apresentá-los. (pág. 28) 

Sobre o papel das definições, os autores argumentam:

 No que concerne às definições, Poincaré também se refere a uma diferença entre o rigor necessário e conveniente à Matemática Científica e aquilo que seria adequado a um processo educativo. Ele diz: “o que é uma boa definição? Para o filósofo ou o cientista é uma que se aplica a todos os objetos a serem definidos, s somente a eles. Mas em educação não é isso; é uma que pode ser entendida pelos alunos”. Além do fato de que os alunos devem entender a definição, há que se considerar também a necessidade e a conveniência, no contexto escolar, de se apresentar uma definição formal para os objetos matemáticos em estudo. Enquanto na Matemática Científica a caracterização através da definição formal é central para o desenvolvimento rigoroso da teoria, na Matemática Escolar, muitas vezes, não é adequado utilizar esse tipo de identificação do objeto. (pág. 29) 

E citam um trecho do artigo de VINNER, S. O papel das definições no ensino e no aprendizado da Matemática: “A definição cria um sério problema para o aprendizado da Matemática. Ela representa, talvez mais do que qualquer outra coisa, o conflito entre a estrutura da Matemática, como a concebem os matemáticos profissionais, e os processos cognitivos de aquisição dos conceitos.”

Eles sintetizam esse conflito nos seguintes termos:

 … para a Matemática Científica, a definição expressa o que o objeto é (como objeto matemático), enquanto do ponto de vista do processo cognitivo, o conhecimento do objeto pelo estudante parece se desenvolver através da construção de uma espécie de mosaico de representações pessoais desse objeto (não necessariamente livre de inconsistências), o qual pode ou não conter a definição formal como uma de sua peças. (pág. 31) 

A forma como o erro é entendido e tratado apresenta-se como um outro diferenciador entre a Matemática Acadêmica e a Matemática Escolar, conforme tratam os autores:

 Para a Matemática Científica, o erro é um fenômeno lógico que expressa uma contradição com algum fato já estabelecido como “verdadeiro”. Para a Matemática Escolar, no entanto, é importante pensar o erro como um fenômeno psicológico que envolve aspectos diretamente relacionados ao desenvolvimento dos processos de ensino e aprendizagem. (pág. 32) 

Segundo os autores, para a Matemática Escolar o erro desempenha um importante papel de indicador didático e pedagógico:

 Os erros, antes de se reduzirem a uma simples manifestação de desconhecimento ou de fracasso, podem ser entendidos como um indicador didático-pedagógico, Referindo-se simultaneamente ao aluno e ao saber a ensinar, o estudo dos erros é peça fundamental no trabalho de planejamento das atividades de ensino escolar. (pág. 32) 

Ainda sobre os erros os autores dizem que uma das vertentes de análise de erros que interessa diretamente à Matemática Escolar é a que trata dos misconceptions, fenômeno da internalização de conceitos numa forma considerada inadequada, que induzem a erros ou limitações no uso de conceitos matemáticos.

Os autores resumem a importância do erro para a Matemática Escolar e para a Matemática Acadêmica da seguinte forma:

 Na Matemática Escolar, o erro desempenha um papel positivo importante: fornece elementos para o planejamento e a execução das atividades pedagógicas em sala de aula. Para a Matemática Científica, por outro lado, a função do erro, embora também muito importante, é essencialmente negativa: indica a inadequação ou a falsidade de resultados, formas de argumentação etc. (pág. 34) 

Os autores encerram a discussão ressaltando a idéia de se reconhecer como distintas as formas de saber correspondentes à Matemática Acadêmica e à Matemática Escolar, especialmente nas relações entre formação e prática do professor. Eles chamam a atenção para não se perceber a Matemática Escolar como mero subconjunto da Matemática Acadêmica, o que levaria a uma conseqüente desqualificação do conhecimento matemático escolar. Para eles,

 A matemática escolar constitui um amálgama de saberes regulado por uma lógica que é específica do trabalho educativo, ainda que envolva uma multiplicidade de condicionantes. Dessa perspectiva, uma reflexão profunda sobre o papel da Matemática Escolar no currículo da licenciatura ode contribuir para introduzir uma referência mais direta e intrínseca da prática escolar no processo de formação inicial do professor. (pág. 35) 

E é sobre os saberes profissionais e sobre o processo de formação dos professores que resulta uma outra percepção da complexidade da Matemática Escolar. Assim, citando os autores:

 … ao tomar cada uma dessas faces do conhecimento matemático em suas especificidades, um leque de importantes questões que interessam diretamente à formação do professor perde o caráter de pressuposto natural e põe-se em discussão na condição de objeto ou problema de investigação teórica e de pesquisas empíricas. (pág. 36)  

 MINHA OPINIÃO 

Concordo com os autores do livro “A formação matemática do professor: licenciatura e prática docente escolar” quando os mesmos reconhecem, de forma clara e distinta, duas formas de abordagem do conhecimento matemático, às quais eles definem como Matemática Escolar e Matemática Acadêmica. Os alunos do curso de licenciatura em matemática tomam contato, já nos primeiros períodos do curso, com estas duas formas, tão distintas e ao mesmo tempo tão próximas, do conhecimento matemático, e acabam aprendendo na prática que estas diferenças devem ser reconhecidas e respeitadas.

Dentre as tantas diferenças entre a Matemática Escolar e a Matemática Acadêmica citadas pelos autores, como a prática do matemático e do professor de matemática, o papel e os significados das definições e das demonstrações e a forma como o erro é entendido e tratado, acredito que a última diferença se apresente como a mais significativa. O tratamento dado aos erros pelas duas formas de abordagem do conhecimento matemático são bastante distintas, e mesmo a forma como o erro é entendido e manipulado tem suas próprias singularidades em cada uma das abordagens. Assim, ao meu entender, o tratamento e o significado dos erros é um ponto chave na diferenciação da Matemática Escolar e a Matemática Acadêmica.

Acredito, assim como os autores, que a idéia de se conhecerem como distintas as duas formas de saber correspondentes à Matemática Escolar e à Matemática Acadêmica é fundamental para a formação e a prática do professor de Matemática. Acredito também que a discussão, a investigação e as pesquisas dessas faces do conhecimento matemático podem trazer grandes contribuições para a formação docente e para o desenvolvimento da Matemática, como ciência e como disciplina escolar.

A professora Sara Liriã de Souza é formada em Matemática pela UFMG e atualmente leciona no curso Sala Virtual